¿Qué es una Ecuación?

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Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El termino desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por letras minúsculas del abecedario. La ecuación se resuelve cuando se encuentra el valor o los valores de la o las incógnitas que hace verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de solución.

 

Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

 

Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

 

Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.  Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir.

 

Para solucionar una ecuación se deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.

 

• Propiedad 1 : Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

• Propiedad 2 :  Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

• Propiedad 3 :  Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

• Propiedad 4 :  Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos, lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos.

 

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Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

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• Las ecuaciones aditivas tienen la forma:

 

a + x = b

 x - a= b

 a – x = b 

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• Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma:

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a · x = b

 x ÷ a = b

 a ÷ x = b

 

Nota: Recuerda que a y b  son constante (números )

 

Ecuaciones aditivas : a + x = b

 

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las igualdades, que textualmente dice: “Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.”

 

Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:

 

1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Hay que recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).

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2. Se realiza la operación indicada.

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Ejemplo:                   28 + x = 13 

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El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.

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28 + x + – 28 = 13 + – 28

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Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.

28 + –28 = 0

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Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).

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13 + –28 = –15

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Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:

28 + x = 13

28 + x + – 28 = 13 + – 28

x + 0  =  –15

x =  –15

 

Otros ejemplos:

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60 – 37  =   84 + x

23 = 84 + x

23 + – 84 = 84  + x + – 84

– 61   =  0 + x

x  = – 61

x + 3 – 2 =  7

x + 1 =7

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x + 1 + –1 =   7 + -1 

x + 0  =  6

x   =   6

 

Ecuaciones multiplicativas: a • x = b

 

Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice textualmente: “Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene”.

 

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

 

Los pasos son los siguientes:

 

Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).

 

Ejemplo:

 

    15 • x  = 75   (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)

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15 • x / 15   =   75 / 15

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2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.

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Reordenando los números se tiene:   
 

15 /15 • x  =   75 /15 

1 • x     =    5

x     =     5

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Otro ejemplo:

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3 • x   =   81

3 • x  =    81 

 3 • x / 3  = 81/ 3

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x  =    27

1 • x =    27

 x =    27

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¿ Qué sucede si se combinamos ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa ?

 

Ejemplo:          

 

2x  +  2  +  3  =   4x  –  1

 

Para resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las operaciones entre términos semejantes en ambos miembros de la ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha. Esto significa sumar números con números y factores literales con factores literales ( letras iguales, exponentes  iguales); en este ejercicio esto significa sumar los números con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso particular de nuestro ejemplo, a la izquierda se pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no hay más términos semejantes

 

2x   +   5    =    4x   –   1

 

A continuación se debe sumar a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que

suma o resta a la incógnita, en este caso se debe sumar el inverso aditivo de 5 ( -5 ) a la izquierda y a la derecha de la igualdad.

 

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2x    +   5  + –5 =    4x   -  1  + –5

2x  +   0     =    4x    +    –6

2x     =    4x    +   –6

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Luego, debe sumarse el inverso aditivo de 4x para lograr que el número 4x que está a la derecha quede a la izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con “equis” podrán reducirse.

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2x  + – 4x =   4x    +  –6   + – 4x

– 2x   =   4x    + – 4x + –6

– 2x      =    0  +  –6

– 2x       =  –6

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Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en este caso se debe dividir por – 2. Fíjate que la ecuación es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide por –2).

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– 2x  / – 2 =  –6  / – 2

1 x      =      3

x    =    3​

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